Średnia ruchoma (moving average)
Oblicznie $k$-okresowej średniej ruchomej w przypadku gdy $k$ jest liczbą nieparzystą: $$ y_{t + (k-1)/2} = \frac{1}{k} \sum_{i=t}^{t + k -1} y_i \quad t = 1,\dots,n - \frac{k-1}{2} \label{S-MovingAverage} $$
Przykładowo powyższy wzorek można rozpisać dla $k=3$ następująco: $$ \begin{aligned} \bar y_2 &= \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \\ \bar y_3 &= \frac{y_2 + y_3 + y_4}{3} \\ \dots & \dots \\ \bar y_{n-1} &= \frac{y_{n-2} + y_{n-1} + y_n}{3} \end{aligned} $$
Oblicznie $k$-okresowej średniej ruchomej w przypadku gdy $k$ jest liczbą parzystą (średnia ruchoma scentrowana): $$ y_{t + k/2} = \frac{1}{k} (0,5 y_t + \sum_{i=t}^{t+k-1}y_i + 0,5 y_{t+k}) \quad t=1,\dots,n - \frac{k}{2} \label{S-MovingAverage-C} $$
Przykładowo powyższy wzorek można rozpisać dla $k=4$ następująco: $$ \begin{aligned} \bar y_3 &= \frac{0,5 y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + 0,5 y_5}{4} \\ \bar y_4 &= \frac{0,5 y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + 0,5 y_6}{4} \\ \dots & \dots \\ \bar y_{n-2} &= \frac{0,5 y_{n-4} + y_{n-3} + y_{n-2} + y_{n-1} + 0,5 y_n}{4} \end{aligned} $$
Ocena jakości dopasowania
Błędy prognoz ex-post
Średni błąd kwadratowy ($n^*=n -(k-1)/2$ lub $n^*=n -k/2$) w zależności od rodzaju średniej ruchomej: $$ MSE = \frac{1}{n^*} \sum_{i=1}^{n^*} (y_i -\bar y_i)^2 $$
Pierwiastek błędu średniokwadratowego: $$ RMSE = \sqrt{MSE} $$
Wykorzystanie modelu średniej ruchomej do prognozowania polega na wyznaczeniu prognozy jako średniej arytmetycznej zwykłej bądź ważonej z $k$ ostatnich wartości zmiennej, tj. $y^*_t = \frac{1}{k}\sum_{i=t-k}^{t-1}y_i$ przy czym $k$ należy wyznaczyć tak aby średni kwadratowy błąd ex post był minimalny.
Metoda analityczna
Liniowa funkcja trendu ma postać: $$y_t = \alpha + \beta t + \xi_t$$ gdzie: $y_t$ -- poziom zjawiska w okresie $t$; $\alpha$, $\beta$ -- parametry; $t$ -- zmienna czasowa (np. $t= 1,...n$) oraz $\xi_t$ -- składnik losowy.
Wartości (oceny) parametrów wyznaczone metodą najmniejszych kwadratów są następujące: $$ \begin{aligned} \hat \beta &= \frac{\sum_{t=1}^n (y_t -\bar y)(t - \bar t) }{ \sum_{i=1}^n (t - \bar t)^2 } \\ \hat \alpha &= \bar y - \bar \beta t \end{aligned} $$
Ocena jakości dopasowania
Standardowe odchylenie składnika resztowego: $$ s_{\xi} = \sqrt { \frac{1}{n-2} \sum_{t=1}^n (y_t - \hat y_t)^2 } $$
Odchylenie ocen parametrów (błąd standardowy oceny) $$ \begin{aligned} s(\beta) &= \sqrt { \frac{ s_{\xi}^2 }{\sum (t-\bar t)^2} } \\ s(\alpha) &= s_{\xi} \sqrt { \frac{\sum t^2}{n \sum (t-\bar t)^2} } \end{aligned} $$Istotność parametrów strukturalnych ($H_0: \beta=0$). Statystyka: $$T_{n-2} = \frac{\hat \beta}{ s(\beta) } $$ ma rozkład $t$-Studenta z $n-2$ stopniami swobody.
Współczynnik zbieżności: $$ \phi^2 = \frac{\sum_{t=1}^n (y_t -\hat y_t)^2 }{ \sum_{t=1}^n (y_t -\bar y_t)^2 } \cdot 100% \quad 0\leq \phi^2 \leq 100 $$ Im $\phi^2$ jest bliższy 0, tym dopasowanie jest lepsze. Wartość $\phi^2$ interpretuje się jako ,,procent zmienności zmiennej $y$ nie objaśniony przez liniową funkcję trendu.''
Współczynnik determinacji $R^2=100-\phi^2$ interpretuje się jako ,,procent zmienności zmiennej $y$ objaśniony przez liniową funkcję trendu.''
Analiza wahań sezonowych
Zakładamy, że szereg dzieli się na $s$ powtórzeń a każde powtórzenie składa się z $k$ faz. Np. w szeregu 12 elementowym zawierającym obserwacje kwartalne $k=4$ a $s=3$.
Działania mające na celu wyodrębnienie wahań sezonowych są następujce:
Wygładzamy szereg czasowy analitycznie lub mechanicznie (średnia ruchoma).
Uwalniamy szereg czasowy od trendu. W tym celu wyliczamy wielkości $w_t = y_t/\hat y_t$
Pozbywamy się wahań przypadkowych w wielkościach $w_t$. W tym celu obliczamy średnie dla okresów jednoimiennych (surowe wskaźniki sezonowości): $$ c_i' = \frac{\sum_{j=1}^{s-1} w_{i+j\cdot k} }{s} \quad i=1, 2, \ldots ,k $$ Interpretacja: $(wskaźnik-surowy -1)\cdot 100%$ oznacza o ile procent poziom zjawiska w danej fazie jest wyższy/niższy od poziomu wyznaczonego przez trend.
Suma wskaźników surowych powinna być równa $k$, tj. $\sum c_i'=k$. Jeżeli tak nie jest, to należy wskaźniki surowe pomnożyć przez współczynnik korygujący: $$ wk=\frac{k}{\sum c_i'} $$ Otrzymując w ten sposób czyste wskaźnik sezonowości.
Jeżeli pomnożymy w każdym okresie teoretyczny poziom zjawiska $\hat y_t$ przez odpowiedni dla danego okresu wskaźnik sezonowości, to otrzymamy teoretyczny poziom zjawiska uwzględniający wahania sezonowe.
